矢量函数：\( \vec f(x,y,z) = f_x(x,y,z)\vec i + f_y(x,y,z)\vec j +f_z(x,y,z) \vec k \), 或称矢量场, 在空间每一点都得到一个矢量。

哈密顿算符：\( \nabla = \vec i \frac{\partial }{\partial x} + \vec j \frac{\partial }{\partial y} + \vec k \frac{\partial }{\partial z} \)。

散度：\( div \vec f = \nabla \cdot \vec f = \frac{\partial f_x }{\partial x} + \frac{\partial f_y }{\partial y} + \frac{\partial f_z }{\partial z} \)

高斯公式：\( \int_V \nabla \cdot \vec f dV = \oint_S \vec f(x,y,z) \cdot \hat n dS \)  ( \( \hat n\) 是S的外法线方向上的单位矢量。 )

散度的意义：\( \nabla \cdot \vec f = \lim_{V \to 0} \frac{\oint_S \vec f(x,y,z) \cdot \hat n dS}{V} \)

旋度：\( curl \vec f = \nabla \times \vec f = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_x & f_y & f_z \end{vmatrix} \)

斯托克斯公式：\( \int_S (\nabla \times \vec f) \cdot \hat n dS = \oint_L \vec f(x,y,z) \cdot \hat t dL \)  ( \( \hat n\) 的方向与闭合回路的积分方向 \( \hat t\) 成右手螺旋关系。)

旋度的意义：\( (\nabla \times \vec f) \cdot \hat n = \lim_{S \to 0} \frac{\oint_L \vec f(x,y,z)\cdot \hat t dL}{S} \)

说明：在互动演示中，我们分别取了立方体形状的闭合曲面和方形的闭合回路（规定为逆时针绕向）， 并画出了曲面和回路上几个特定位置的场。 观察曲面的外法线方向、回路绕向与场方向的夹角，定性演示散度和旋度的意义。